Question

高一数学求圆与直线问题，数学高手进

已知圆C过点P（2，-2）与直线X-Y=O相切，且圆心在直线X+Y=O上，问
（1)求圆C 的标准方程
（2）直线l：2mx+(2m+2)y+1=o,试问判断直线l被圆C截得的弦何时最短，并求截得的弦长最短时的m的值以及最短长度

Answer 1

1.(x-2)^2 + (y+2)^2=8
2.直线过点M(1/2,-1/2)，当弦的斜率是1的时候弦最短。
斜率是-m/(m+1)=1，m=-1/2
M到圆心的距离：3/根2
圆的半径2倍根2
勾股定理：最短长度=2*根号(8- 9/2)=根号14
算得对么。。

追问

你可以画个图吗，这样直观点？
而且第一问的答案是怎么来的

追答

啊。。好像错了。。丢脸。。
圆心在(1,-1)。半径根2

你就想。圆心在y=-x上动。与y=x相切。那圆也过(0,0)点。这时候圆又过(2,-2)。
那圆心就在(1,-1)了。

第二题也就跟着错了。
直线过点M(1/2,-1/2)，那就想像直线绕着M转。斜率是-1的时候最长。斜率是1的时候最短。
最短的时候弦的一半，圆半径，和弦心距，构成直角三角形的三条边。半径知道。弦心距是(1,-1)到(1/2,-1/2)的距离。勾股定理就把弦的一半解出来了。再乘2就行了。我说明白了么？

追问

圆心是怎么算的？利用直径的中点吗？怎么知道（0,0）、（2，-2）两点直线就是直径呢？

追答

圆心C在y=-x上。从C做切线y=x的垂线。垂足是圆与切线的切点。y=-x和y=x本来就垂直。从y=-x上的点做y=x的垂线。垂足只能是(0,0)。那么说明一条直径就是y=-x方向。而(2,-2)就在y=-x上。于是(0,0)和(2,-2)是直径的两端。