Question

直线与圆问题 急需 数学高手进

已知三条直线L1：mx-y+m=0, L2：x+my-m(m+1)=0 L3：(m+1)x-y+(m+1)=0,它们围成三角形ABC。
求：当m取何值时，三角形ABC的面积取最大值、最小值？并求出最大、最小值。

Answer 1

解：（1）根据题意得 l1，l3交于A（-1，0）l2，l3交于B（0，m+1）
∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（-1，0）
（2）从条件中可以看出l1、l2垂直
∴角C为直角，
∴S=12|AC|•|BC|
|BC|等于点（0，m+1）到l1的距离d=|-m-1+m|m2+1=1m2+1
|AC|等于（-1，0）到l2的距离d=m2+m+1m2+ 1
S=12×m2+m+1m2+1=12[1+1m+
1m]
当m＞0时，1m+
1m有最大值12
同理，当m＜0时，1m+
1m有最小-12
所以m=1时S取最大值为34m=-1时S取最小值14

Answer 2

首先容易发现L1,L2是垂直的，L1,L3经过同一点A(-1,0)
而且L2,L3也经过同一点C(0,m+1)
所以围成的三角形只差直角顶点B不知道
联立L1,L2可以解出B(m/(m^2+1),m(m^2+m+1)/(m^2+1))
|AB|=(m^2+m+1)/√(m^2+1)
|BC|=1/√(m^2+1)
所以S=1/2*(m^2+m+1)/(m^2+1)
=1/2+1/2*(m/m^2+1)
最大值是S<=1/2+1/2*(m/2m)=3/4
可以一直缩小无限靠近1/2