Question

如图正方形ABCD的边长为4，E是AB边中点，连接DE，过A点作AF垂直于DE于点F，连接CF，过

如图正方形ABCD的边长为4，E是AB边中点，连接DE，过A点作AF垂直于DE于点F，连接CF，过点D作DG垂直于CF于点G，连接BG，则BG的长为多少。

Answer 1

解：延长CF交AB于M ,过点G作GN垂直BC于N
所以角BNG=90度
所以三角形BNG是直角三角形
所以BG^2=BN^2+GN^2
因为正方形ABCD的边长为4
所以AB=AD=BC=DC=4
角BAD=角ABC=90度
S三角形ADE=1/2AD^AE
AB平行CD
所以角FME=角FCD
角FEM=角FDC
所以三角形EFM和三角形DFC相似（AA)
所以EM/DC=MF/CF=EF/DF
因为E是AB的中点
所以AE=BE=1/2AB=2
因为角BAD=90度（已证）
所以三角形BAD是直角三角形
所以DE^2=AD^2+AE^2
所以DE=2倍根号5
因为AF垂直DE
所以S三角形ADE=1/2DE*AF
角AFE=角AFD=90度
所以AF=4/根号5
角BAD=角AFD=角AFE
因为角ADE=角ADE
所以三角形ADF和三角形FDA相似（AA)
所以AD/DE=DF/AD
所以DF=8/根号5
同理可求：EF=2/根号2
所以EF/DF=1/4
所以EM/DC=MF/CF=1/4
所以EM=1/4DC=1
因为角ABC=90度（已证）
所以三角形MBC是直角三角形
所以CM^2=BC^2+BM^2
因为BM=EM+BE=1+2=3
所以CM=5
因为CM=MF+CF
所以MF=1/5CM CF=4/5CM
CF=4
所以CF=CD
所以角CFD=角CDF
所以角CFD=角FEM
因为角AEF+角AFE+角EAF=180度
所以角AEF+角EAF=90度
因为角BAD=角EAF+角DAF=90度
所以角AEF=角DAF
所以角DAF=角CFD
因为DG垂直CF
所以角FGD=90度
所以角AFD=角FGD=90度
所以三角形AFD和三角形FGD相似（AA)
所以AD/DF=AF/FG
所以FG=8/5
因为CG=CF-FG=4-(8/5)=12/5
所以CG/CE=12/25
因为角BNG=90度（已证）
所以三角形BNG是直角三角形
所以BG^2=GN^2+BN^2
因为角ABC=90度（已证）
所以角ABC+角BNG=180度
所以GN平行BM
所以GN/BM=CN/BC=CG/CM=12/25
因为BM=3
BC=4
所以GN=36/25
CN=48/25
因为BN=BC-CN=52/25
所以BG=4倍根号10/5

Answer 2