Question

一道高中数学题！

设f(x)的定义域为D，若f=(x)满足下面两个条件，也称f(x)为闭函数。
①f(x)在D内是单调函数；
②存在[a,b]为D的子集（符号打不出来），使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]。
如果f(x)=[√(2x+1)]+k为闭函数，那么k的取值范围是？
答案：-1<k≤-1/2

求过程……
如果在根号外，那要根号干啥……

Answer 1

对于f(x)=[√(2x+1)]+k，可以先确定其定义域D为[-1/2, +∞)。因为只有当2x+1大于等于0时，根号下的数才有实数解。
首先，需要证明f(x)是单调函数。对于f(x)=[√(2x+1)]+k，我们只需要证明其导函数存在且恒大于等于0即可。求导得到f'(x) = (1/√(2x+1))，由于2x+1大于等于1，所以f'(x)大于等于1，因此f(x)在D内是单调递增的函数。
其次，需要证明存在[a,b]为D的子集，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]。由于f(x)是单调递增的函数，只需找到一个[a,b]子集使得f(a)≤a，f(b)≥b，即可得到f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]。取[a,b]为[-1/2, 0]，则f(a)=[√(2a+1)]+k=[√(0.5)]+k，f(b)=[√(2b+1)]+k=-1/2+k，因为0.5≤[√(2x+1)]≤1，所以0.5+k≤f(a)≤1+k，-1/2+k≤f(b)≤-1/2+k。因此，当-1<k≤-1/2时，f(x)在[-1/2, 0]上的值域为[-1/2, 0]，即f(x)是一个闭函数。
综上，k的取值范围为-1<k≤-1/2。

Answer 2

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Answer 3

2x+1是在根号内吗？