Question

已知14（a²＋b²＋c²）＝（a＋2b＋3c）²求证a∶b∶c＝1∶2∶3

Answer 1

这题应该加个条件,abc≠0,不然当a=b=c=时,a∶b∶c＝1∶2∶3 无意思 不成立
14（a²＋b²＋c²）＝（a＋2b＋3c）²
14a²＋14b²＋14c²=a²＋4b²＋9c²+4ab+6ac+12bc
13a²＋10b²＋5c²-4ab+--6ac-12bc=0
(2a-b)²+(3b-2c)²+(3a-c)²=0
所以2a-b=0 a:b=1:2
3b-2c=0 b:c=2:3
3a-c=0 a:c=1:3
所以a∶b∶c＝1∶2∶3

Answer 2

你好，爱辉铭：

证明：
14(a²+b²+c²)=(a+2b+3c)²
14a²+14b²+14c²=[(a+2b)+3c]²
14a²+14b²+14c²=(a+2b)²+6c(a+2b)+9c²
14a²+14b²+14c²=a²+4ab+4b²+6ac+12bc+9c²
14a²-a²+14b²-4b²+14c²-9c²-4ab-6ac-12bc=0
13a²+10b²+5c²-4ab-6ac-12bc=0
(4a²-4ab+b²)+(9a²-6ac+c²)+(9b²-12bc+4c²)=0
(2a-b)²+(3a-c)²+(3b-2c)²=0
且(2a-b)²≥0，(3a-c)²≥0，(3b-2c)²≥0
∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0
解得：2a=b，3a=c，3b=2c
∴a：b：c=1：2：3

追问

为什么不能将a:b:c=1:2:3化成a:2a:3a然后代入等式用反推法证明

追答

这个应该可以的
不过初中的方法一般都不用反推法
适宜一步一步推导证明
不过，你这样做
就是将要求证的，变为已知条件了！