Question

已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证：a的平方加b的平方加c的平方大于等于三分之一

Answer 1

因为a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ac
所以2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)
即a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
两边同时加1/2*(a^2+b^2+c^2)得
3/2(a^2+b^2+c^2)≥1/2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)=1/2(a+b+c)^2=1/2
所以3/2(a^2+b^2+c^2)≥1/2
所以a^2+b^2+c^2≥1/3

Answer 2

a^2+b^2>=2ab,b^2+c^2>=2bc,c^2+a^2>=2ac那么，三式相加得：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac
而a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)>=(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)，移项得：、
a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3=1/3

Answer 3

柯西不等式知道吗？
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2>=1/3