Question

数学高一，正余弦函数

已知函数y=2+a²-2a sinx-cos ²x，当sinx=1时，y取最大值，当sinx=a时，y取最小值，求实数a的实数范围

Answer 1

F[x]=2+a*a-2aSinx-Cosx*Cosx
=a^2-2sinxa+2-cos^2x(关于a的二次方程)
=a^2-2sinxa+1+sin^2x
当sinx=1 f(x)=a^2-2a+2
当sinx=a f(x)=a^2-2a^2+1+a^2=1
a^2-2a+2>1
所以a不等于1

追问

请问下为什么a^2-2a+2>1

Answer 2

看得清楚吗？

Answer 3

y=2+a²-2a sinx-cos ²x=（a-sinx)²-(sin²x+cos²x)+2=(sinx-a)²+1
令u=sinx,且-1<=u<=1，则y=(u-a)²+1为以x=a为对称轴的抛物线的一段
又sinx=1时，y最大
所以对称轴不在y轴左侧，则a<=0
又当sinx=a时，y取最小值，所以a=sinx=u∈[-1,1]
综上所述，a∈[-1,0]

Answer 4

y=2+a2-2asinx-1+sin2x
=1+(a-sinx)2
a[-1,1]