Question

高中数学！！

Answer 1

(1)

对数有意义，真数>0，x>0，函数定义域为(0，+∞)

f'(x)=(x-2)'lnx+(x-2)(lnx)'+1'

=lnx +(x-2)/x+0

=lnx +(x-2)/x

f''(x)=(lnx)' +[(x-2)'x-(x-2)x']/x²

=1/x +2/x²

=(x+2)/x²

x>0，(x+2)/x²恒>0，f''(x)恒>0，f'(x)单调递增，至多有一个零点。

令x=1，得f'(1)=ln1 +(1-2)/1=0 -1=-1<0

令x=2，得f'(2)=ln2+ (2-2)/2=ln2>0

导函数f'(x)在区间(1，2)上有1个零点，则此零点为导函数f'(x)的唯一零点。

导函数在(1，2)上零点的个数为1。

(2)

f'(x)在(0，+∞)上单调递增，又f'(x)有唯一零点，设此零点为x=x0，(1<x0<2)

则0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；x>x0时，f'(x)>0，f(x)单调递增

x=x0时，f(x)取得最小值。

1<x0<2，0<lnx0<ln2<1，-1<x0-2<0

-1<(x0-2)lnx0<0，0<(x0-2)lnx0 +1<1

f(x0)>0

又x=x0时，f(x)取得最小值，因此f(x)>0