Question

如图,已知点O为△ABC内任一点,证明：1.OA+OB+OC＞1/2（AB+BC+AC）2.AB+AC＞OB+OC

如图,已知点O为△ABC内任一点,证明：
1.OA+OB+OC＞1/2（AB+BC+AC）
2.AB+AC＞OB+OC
3.AB+AC+BC＞OA+OB+OC
4.若A,B，C为三个村庄，AB+AC+BC=10km ，要在△ABC内建一个供水站O向三个村庄按如图路线供水，问需要水管长度的情况如何？

Answer 1

水管的长度在5~10km之间。

1、由三角形两边之和大于第三边可得OA+OB>AB，OB+OC>BC，OC+OA>CA，三式相加即得2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA，即OA+OB+OC＞1/2（AB+BC+AC）。

2、延长BO交AC于D，有AB+AD>BD，OD+DC>OC，两式相加得AB+AD+OD+DC>BD+OC，即AB+AC+OD>BO+OD+OC，所以AB+AC＞OB+OC。

3、由2知AB+AC>OB+OC，BA+BC>OA+OC，CA+CB>OA+OB，三式相加得2(AB+BC+CA)>2(OA+OB+OC)，即AB+BC+CA>OA+OB+OC。

4、由1.3知1/2（AB+BC+AC）<OA+OB+OC<AB+AC+BC。

因此需要水管的长度在5~10km之间。

三角形性质：

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

Answer 2

1.由三角形两边之和大于第三边可得OA+OB>AB,OB+OC>BC,OC+OA>CA
三式相加即得2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA，即OA+OB+OC＞1/2（AB+BC+AC）
2.延长BO交AC于D，有AB+AD>BD,OD+DC>OC
两式相加得AB+AD+OD+DC>BD+OC，即AB+AC+OD>BO+OD+OC，所以AB+AC＞OB+OC
3.由2知AB+AC>OB+OC,BA+BC>OA+OC,CA+CB>OA+OB
三式相加得2(AB+BC+CA)>2(OA+OB+OC),即AB+BC+CA>OA+OB+OC
4.由1.3知1/2（AB+BC+AC）<OA+OB+OC<AB+AC+BC
因此需要水管的长度在5~10km之间

Answer 3

因为oa+ob＞ab，oa+oc＞ac，ob+oc＞bc，所以oa+ob+oc+oa+ob+oc＞ab+ac+bc，所以oa+ob+oc＞二分之一（ab+ac+bc)

Answer 4

自己想