Question

如图二次函数y=x²+px=q（p＜0）的图像与x轴交与A,B两点与y轴交与点c（0，-1）△ABC的面积为4/5

（1）求该二次函数关系式（2）过y轴一点M（0，m）作y轴上垂线 若该垂线与△ABC的外接圆有公共点 求m的取值范围（3）在该二次函数图象上是否在D 使四边形ABCD为直角形？若存在，求D△坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

1）设抛物线与x轴交点为A(x1,0),B(x2,0)
将（0，-1）代人，得q=-1
因为△ABC的面积为4/5，
所以(1/2)*AB*1=5/4
所以AB=5/2,
AB=x2-x1=√（x1-x2)^2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(p^2-3q)=√(p^2-4)=5/2,
p^2-4=25/4,
p^2=9/4,
因为p<0
所以p=-3/2
所以y=x^2-3x/2-1

2)因为y=x^2-3x/2-1=（2x+!）（x-2）,
所以抛物线与x轴交点为（-1/2,0）,(2,0)
又OC=1,
所以△ABC是直角三角形，
所以C关于x轴的对称点（0，1）也在圆上，
所以1≤m≤1，

3）因为∠ACB=90,
所以过A平行于BC交抛物线于D,
此时四边形ACBD为直角梯形，
直线BC解析式:y=x/2-1,
设所以过A的直线为y=x/2+b,
将A(-1/2,0)代人，得，b=1/4,
所以y=x/2+1/4,
联立抛物线，解方程组，
x^2-3x/2-1=x/2+1/4,
4x^2-8x-5=0,
(2x+1)(x-5)=0,
所以x1=-1/2,x2=5,
当x1=-1/2时，即为抛物线和x轴交点，
当x2=5时，y=11/4,
所以D(5,11/4)