Question

如图,二次函数y=-x+px+q的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在

如图,二次函数y=-x²+px+q的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在第一象限，∠ABC=30°。
（1）求点A,B的坐标和二次函数的关系式
（2）设直线y=根号三x-9与y轴的交点是D，在线段BC上任取一点E（不与B、C重合），经过A,B,E三点的圆交直线BD于点F
①试判断△AEF的形状，并说明理由；
②设BF=m,m的取值范围是多少？（直接写出）

Answer 1

解：(1)依题设有，OC＝3，OB＝√3OC=3√3
所以，B（3√3，0）
　　　于是由点B与点C在图象上得
　　　　-27+3√3p+q=0,q=3
解之得　p=8√3/3,q=3
所以，二次函数的解析式为　y=-x²+8√3/3x+3
令　y=0得-x²+8√3/3x+3＝0解得　x1=3√3,x2=-√3/3
　　　 故　A（-√3/3，0）
　　(2)△AEF是直角三角形，其中∠EAF为直角.理由：
　　　　易求得D(0,-9),在Rt△BOD中，tan∠OBD=OD/OB=9/(3√3)=√3,
所以　∠OBD＝60°，而∠ABC=30°，故∠EBD＝90°
　　　　因此，EF是直径，于是得∠EAF＝90°
　　(3)解：(1)依题设有，OC＝3，OB＝√3OC=3√3
所以，B（3√3，0）
　　　于是由点B与点C在图象上得
　　　　-27+3√3p+q=0,q=3
解之得　p=8√3/3,q=3
所以，二次函数的解析式为　y=-x²+8√3/3x+3
令　y=0得-x²+8√3/3x+3＝0解得　x1=3√3,x2=-√3/3
　　　 故　A（-√3/3，0）
　　(2)△AEF是直角三角形，其中∠EAF为直角.理由：
　　　　易求得D(0,-9),在Rt△BOD中，tan∠OBD=OD/OB=9/(3√3)=√3,
所以　∠OBD＝60°，而∠ABC=30°，故∠EBD＝90°
　　　　因此，EF是直径，于是得∠EAF＝90°
　　(20√3/3 3m≤20√3/3

Answer 2

解：(1)依题设有，OC＝3，OB＝√3OC=3√3
所以，B（3√3，0）
　　　于是由点B与点C在图象上得
　　　　-27+3√3p+q=0,q=3
解之得　p=8√3/3,q=3
所以，二次函数的解析式为　y=-x²+8√3/3x+3
令　y=0得-x²+8√3/3x+3＝0解得　x1=3√3,x2=-√3/3
　　　 故　A（-√3/3，0）
　　(2)△AEF是直角三角形，其中∠EAF为直角.理由：
　　　　易求得D(0,-9),在Rt△BOD中，tan∠OBD=OD/OB=9/(3√3)=√3,
所以　∠OBD＝60°，而∠ABC=30°，故∠EBD＝90°
　　　　因此，EF是直径，于是得∠EAF＝90°
　　(3)2√3/3≤m≤20√3/3

Answer 3

(1)依题设，OC＝3，OB＝√3OC=3√3
所以，B（3√3，0）
　　　于是由点B与点C在图象上得
　　　　-27+3√3p+q=0,q=3
解之得　p=8√3/3,q=3
二次函数为　y=-x²+8√3/3x+3
由　y=0得-x²+8√3/3x+3＝0解得　x1=3√3,x2=-√3/3
　　　 故　A（-√3/3，0）
　　(2)△AEF是直角三角形，其中∠EAF为直角.理由：
　　　　易求得D(0,-9),在Rt△BOD中，tan∠OBD=OD/OB=9/(3√3)=√3,
所以　∠OBD＝60°，而∠ABC=30°，故∠EBD＝90°
　　　　因此，EF是直径，于是得∠EAF＝90°
　　(3)2√3/3≤m≤20√3/3