Question

f(x)是R上的函数,对于任意实数a,b,都有f(ab)=af(b)+bf(a),且f(2)=1。

f(x)是R上的函数,对于任意实数a,b,都有f(ab)=af(b)+bf(a),且f(2)=1。
（1）求f(1),f(1/2)的值
（2）令bn=f[2^(-n)]，即2的-n次方，求证：{2^n•bn}为等差数列
（3）求{bn}的通项公式

Answer 1

(1)令b=1则有f（a）=f（a)+af（1），由于a为任意实数，得到f（1）=0
令a=2,b=0.5则有f（1）=2f（0.5）+0.5f（2）得到f（0.5）=-1/4
（2）对任意n,有2^(n+1)•b(n+1)-2^n•bn=2^(n+1)•f[2^(-n-1)]-2^n•f[2^(-n)]=2^(n+1)•f[2^(-n-1)]-2^n•{f[2^(-n-1)•2]}=2^(n+1)•f[2^(-n-1)]-2^n{2^(-n-1)f(2)+2f[2^(-n-1)]}=-1/2.得证。
（3）由（1）（2）得，[2^1•b1]=[2f(0.5)]=-1/2,所以{2^n•bn}为首项为-1/2,公差为-1/2的等差数列。故2^n•bn=-n/2.所以bn=-n/2^(n+1)

Answer 2

(1)、f(1)=0;f(1/2)=-1/4