Question

在三角形ABC中，D,G,分别为AB,AC上的点，且BD=CG,M,N分别是BG,CD的中点，过MN的直线交AB于点P，

交AC于点Q,求证：AP=AQ

Answer 1

证明：取BC的中点H,连接HM并延长交AB于X，连接HN并延长交AC于Y。则

HM‖CG,  HM=(1/2)CG;  HN‖BD,  HN=(1/2)BD

而BD=CG

所以：HM=HN,即∠HNM=∠HMN，也就是∠QNY=∠PMX

由 平行得∠A=∠QYN,∠A=∠PXM

所以：△MPX∽△NQY

所以：∠APQ=∠AQP

所以：AP=AQ

Answer 2

作GE//=PB,  连结CE并延长交AB延长线与F，连结DE

  则BPGE是平行四边形,  且△CGE是等腰三角形 M也是  DE的中点，从而MN//CE   

又GC=GE   GE//AF 所以AC=AF  又PQ//CF   所以AP=AQ