Question

如图，在Rt△ABC中，△ACB=90 ，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCF，

如图，在Rt△ABC中，△ACB=90 ，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCF，DE、DF，试说明△ADE ∽△CDF

Answer 1

证：连接DE,CF.
由题设得：△ADC~△BDC. (Rt△，A.A.A)
∴AD：CD=AC：BC=AC：BC=AE：CF.
∴AD：AE=CD：CF.
又，∠BCD=∠DAC (与同一角互余的角相等）
∠BDC+60°=BCF
∠DAC+60°=∠BAE
∴ ∠BCF=∠DAE
∴△ADE~△CDF (两组对应边成比例，其夹角相等）。
证毕。

Answer 2

易知△ACD ∽△CBD，∠CAD=∠BCD，AC/AD=CB/CD。
因∠EAD=60°+∠CAD、 ∠FCD=60°+∠BCD，得∠EAD=∠FCD.
又已知AC=AE、 CB=CF，结合AC/AD=CB/CD，得AE/AD=CF/CD,
因∠EAD=∠FCD、 AE/AD=CF/CD，故△ADE ∽△CDF。

Answer 3

∠CAD=∠DCB,∠CAE=∠BCF=60
所以∠DAE=∠DCF （1）
在Rt△ABC中有AD:CD=AC:BC,又BC=CF,AC=AE
所以AD:CD=AE:CF （2）
由（1） （2）
的△ADE ∽△CDF

这不就是解答吗？