Question

已知函数f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2,g(x)=(k^2)(x^2)+kx+1,其中k属于R。

设函数p(x)=f(x)+g(x)，若p(x)在区间（0.3）上不单调，求k的取值范围
考试速答、

Answer 1

解：（1）p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，
P '（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）
因为p（x）在（0，3）上不单调，
所以p'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由p'（x）=0，得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）
即
令t=2x+1，有t∈（1，7），记
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，
所以，h（t）∈[6，10）
于是
得k∈（-5，-2]
而当k=-2时，p'（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，
故舍去，所以k∈（-5，-2）。
（2）由题意，得当x<0时，
q'（x）=f'（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5
当x>0时，g'（x）=g'（x）=2k2x+k．
因为当k=0时不合题意，所以k≠0
下面讨论k≠0的情形
记A={g'（x）|x>0}，B={f'（x）|x<0}
则A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（i）当x1>0时，q'（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以要使q'（x2）=q'（x1）成立，只能x2<0，且AB，因此k≥5；
（ii）当x1<0时，q'（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以要使q'（x2）=q'（x1）成立，只能x2>0，且BA，因此k≤5
综合（i）（ii），得k=5。
当k=5时，有A=B
则
即，使得q'（x2）=q'（x1）成立
因为q'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2是唯一的。
同理，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q'（x2） =q'（x1）成立
所以k=5满足题意。

Answer 2

p(x)=x³+(k-1)x²+(k+5)x-1
p'(x)=3x²+2(k-1)x+(k+5)
p(x)在区间（0.3）上不单调则有极值
即p'(x)=0在(0,3)有解

若只有一个解
则p(0)*p(3)<0
(k+5)(27+6k-6+k+5)<0
-5<k<-26/7

若有两个解
开口向上
所以有p(0)>0,p(3)>0,判别式大于0，对称轴x=-(k-1)/3在区间内
所以k+5>0,k>-5
7k+26>0,k>-26/7

(k-1)²-3(k+5)>0
k²-5k-14>0
k<-2,k>7

0<-(k-1)/3<3
-9<k-1<0
-8<k<1

综上
-5<k<-26/7,-26/7<k<-2

Answer 3

-5<k<-4