Question

两道高一不等式题目

1已知函数f（x）＝ax^2+bx+c的图像过点（-1，0）是否存在常数a，b，c使不等式x《f（x）《(1+x^2)/2对一切时数x都成立？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，说明理由。

2分别求m的取值范围，使方程x^2-mx-m+3=0的两根满足以下条件
（1）两根都大于-5
（2）一根大于0小于1，一根大于1小于2

Answer 1

f（x）＝ax^2+bx+c的图像过点（-1，0）即a-b+c=0 假设存在有以下
x《f（x） ax^2+(b-1)x+.c》0 （1)
f（x）《(1+x^2)/2 （ a-1/2）x^2+bx+c-1/2《0 (2)
以上二式对一切x恒同时成立
一。 当a=0时对于 通过画图(1) ： (b-1)x+.c》0 对一切x恒成立只能是b=1 ，c》0 否则(b-1)x+.c是一次函数只能是x取一部分值不是对一切x，(b-1)x+.c》0 成立。对于 (2) 二次函数对一切x恒成立 即 -1/2x^2+bx+c-1/2《0 由 (1) b=1 ，式子成立 二次函数最小值必然要小于等于0得c《0 与(1)c》0只能c=0 综上述a=0时（1)，(2) 对一切x同时成立只能b=1，c=0 。
二。 当a不为0时，对一切x对两个二次函数同时成立（1)，(2)。需同时满足如下条件
a》0，a-1/2《0 即 0《a《1/2
（1）的最小值》0 且 0《a《1/2 得4ac-(b-1)^2》0 ， 4ac-b^2》1-2b.
（2）式最大值《0 且 0《a《1/2 ， 4 a-1/2)(c-1/2）-b^2《0 ,4ac-b^2《2a+2c-1
所以2a+2c-1》1-2b ，即a+b+c》1/2
（1）式c》0 （2）式c-1/2《0 即 0《c《1/2
综上述当a不为0时不等式x《f（x）《(1+x^2)/2对一切时数x都成立只需
0《a《1/2， 0《c《1/2，b为任意值
方法点播。分类讨论，数型结合。考察内容不等式与函数的结合
2 . （1） x1>-5, x2>-5 所以. x1+ x2>-10且x1× x2>0用根与系数的关系m>-10，-m+3>0
即-10<m<3
（2）0<x1<1 1<x2<2 所以1<x1+ x2<3 ，0<x1× x2<2用根与系数的关系
1<m<3 ， 0<-m+3<2。求二者的交集 1<m<3
考察内容不等式与维达定理（根与系数）的结合

追问

第二问第一小问怎么得到的x1x2大于0的？

Answer 2

1. 用ab表示c，连续不等式拆成两个，分别讨论。二次函数的性质熟悉就做的出来了，我觉得应该不用求导

2.方程过（-1，4）
（1） 对称轴大于-5，f（-5）＞0
（2） f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0