Question

若点P式曲线y=x^2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离是 悬赏分：0 | 解决时间：2010-3-25 20:52

若点P式曲线y=x^2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离是 悬赏分：0 | 解决时间：2010-3-25 20:52 | 提问者：庄诗韵
请告诉我答案及解题过程！！！谢谢！！！
最佳答案 设P(a,a²-lna)
定义域x>0则a>0

直线x-y-2=0
距离=|a-a²+lna-2|/(1²+1²)
即求分子最小值

|a-a²+lna-2|
=|a²-a-lna+2|
f(a)=a²-a-lna+2
f'(a)=2a-1-1/a=(2a²-a-1)/a
a>0
2a²-a-1=(2a+1)(a-1)
2a+1>0
所以0<a<1,f'(a)<0,减函数
a>1,f'(a)>0,增函数
所以a=1是极小值点，也是最小值点
f(1)=1-1-0+2=2
所以最短距离=2/√2=√2

问题是：如何认定 f(a)=a²-a-lna+2才是大于0的？？

谢谢

Answer 1

其实题目已经讲得很清楚了
f(a)=a²-a-lna+2
f'(a)=2a-1-1/a=(2a²-a-1)/a
a>0
2a²-a-1=(2a+1)(a-1)
2a+1>0
所以0<a<1,f'(a)<0,减函数
a>1,f'(a)>0,增函数
所以a=1是极小值点，也是最小值点，即f(a)在a=1处取最小值
f(1)=1-1-0+2=2>0，则f(a)在a>0时都大于0

追问

我是指点到直线距离公式中的绝对值他是怎么脱去的，理由

追答

它只是设函数为f(a)=a²-a-lna+2，并不确定这个式子是正还是负，是通过一系列计算判断它是大于零的，其实也可以设f(a)=a-a²+lna-2，只不过最后判断它肯定是始终小于零

Answer 2

解：点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x2-lnx的导数 y′=2x-1 x =1，x=1，或 x=-1 2 （舍去），
故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于根号 2 ，
故点P到直线y=x-2的最小距离为 根号2 ，
故答案为根号 2 ．

Answer 3

先写出y=X^2-lnx每一点的切线方程，找到和y=x-2 平行的切线方程，易知切点就是点P，再求切点到直线的距离

Answer 4

63.