Question

已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).若f(x)为奇函数,且当0小于等于x小于

已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).若f(x)为奇函数,且当0小于等于x小于等于1时，f(x)=1/2x，求使f(x)=-1/2在[0,2009]上的所有x的个数

Answer 1

当X=3、7、11……、4n+3时，f(x)=-1/2，所以当4n+3<2009时，n<501.5，所以X的个数为501.

Answer 2

我怎么看你们两个答案一字不差啊？真奇怪
除了f(x)={ 1/2x,0<=x<=1;-1/2x,-1<=x<=0}需要纠正一下外，其他的都是对的包括结果
这步第二个解析式里的负号去掉，应改为f(x)={ 1/2x,0<=x<=1;1/2x,-1<=x<=0}
即f(x)=1/2x,-1<=x<=1;

Answer 3

f(x)=-f(x+2)=f((x+2)+2)=f(x+4)
也就是说f(x)是一个以4为周期的奇函数。
f(-x)=-f(x),
f(x)={ 1/2x,0<=x<=1;
-1/2x,-1<=x<=0} //这儿是一个分段函数
现在f(x)=-1/2，有x=-1 ;
由f(x)的周期性知 x=-1+4k 时，f(x)的值都为-1/2 ,k=1,2,3.....(k为正整数）
让-1+4k<=2009 ,解不等式得 k<=502
所以满足条件的x 有502个

Answer 4

f(x)=-f(x+2)=f((x+2)+2)=f(x+4)
也就是说f(x)是一个以4为周期的奇函数。
f(-x)=-f(x),
f(x)={ 1/2x,0<=x<=1;
-1/2x,-1<=x<=0} 现在f(x)=-1/2，有x=-1由f(x)的周期性知 x=-1+4k 时，f(x)的值都为-1/2 ,k=1,2,3.....(k为正整数）
让-1+4k<=2009 ,解不等式得 k<=502
所以满足条件的x 有502