Question

计算曲线积分，∫(x^2+y^2)dx+2xydy,其中l:沿直线从点A(-1,1)到点B(0,1)，再沿单位圆x^2+y^2=1到点C(1,0)

Answer 1

在AB上直接计算即可，注意此时dy恒等于0
在AB上，∫(x^2+y^2)dx+2xydy=∫（-1,0）(x^2+1)dx=4/3
在BC的曲线上，在BCO这块扇形区域对该式用格林公式
∫(x^2+y^2)dx+2xydy
= -∫∫( -2y+2y)dxdy+∫（B到O，直线）(x^2+y^2)dx+2xydy+∫（O到C，直线）(x^2+y^2)dx+2xydy
-∫∫( -2y+2y)dxdy= -∫∫0dxdy= 0
B到O的直线积分dx恒=0，而dy的积分因为x=0，因此也是0
O到C的直线积分dy恒=0，∫（O到C，直线）(x^2+y^2)dx+2xydy=∫(0,1)x^2dx=1/3
因此原曲线积分的积分值是4/3+0+0+1/3=5/3