Question

已知数列｛An｝满足a1=1，a（n+1）=2an+1 求证数列{an+1}是等比数列 求数列｛an｝通式

Answer 1

a（n+1）=2an+1
a（n+1）+1=2an+2＝2(an +1)
∴{an +1}是等比数列，公比为2,首项a1+1=2
∴an+1=2*2^(n-1)=2^n (2的n次方)
an=2^n -1

Answer 2

令bn=an+1
则原式可变为b(n+1)=2bn 则数列{bn}是公比为2，首项为2的等比数列。
则bn=2^n
an+1=bn=2^n
则an=2^n-1

Answer 3

证明：a（n+1）+1=2an+2所以a（n+1）/an+1=2.因为a1=1，所以a1+1=2，即｛an+1｝是以2为首项2为公比的等比数列。an+1=2*2^(n-1),即｛an｝=2^n-1

Answer 4

(1) a(n+1)= 2an+1 a(n+1)+1 = 2(an+1) a(n+1)/an=2 an/a1 =2^(n-1) an = 2^(n-1) (2) 4^(b1-1).4^(b2-1)...4^(bn-1) = (an+1)^bn 4^(b1+b2+..+bn- n) = (a(n+1))^bn 2^(2(b1+b2+..+bn- n)) = (2^n)^bn = 2^(nbn) nbn = 2(b1+b2+..+bn- n) b1+b2+..+bn = (nbn +2n)/2 = n(bn+2)/2 bn是等差数列, b1=2

Answer 5

1）两边加1得到
a(n+1)+1=2[a(n)+1]
所以a(n)+1为等比数列

2）
由1）中结论和等比数列定义容易得到，a(n)+1=2^(n-1)×(1+1)
所以 a(n)=2^n-1
有等比数列求和公式容易得到
S(n)=a(1)+...+a(n)=2^(n+1)-n