Question

证明：若已知向量组a1a2a2...an的秩为r(r<=m)。则a1a2a3..an中任意r个线性无关的向量都是极大无关组。 。

速度。

Answer 1

设 b1,b2,...,br 是 a1a2a3..an中任意r个线性无关的向量.
则对a1a2a3..an中任一向量b,
若b 在b1,b2,...,br 中, b 自然可由 b1,b2,...,br 线性表示.
若b 不在 b1,b2,...,br 中, 则由向量组a1a2a2...an的秩为r, 知这r+1个向量b , b1,b2,...,br 线性相关, 再由b1,b2,...,br 线性无关知 b可由 b1,b2,...,br 线性表示

这样, b1,b2,...,br 就满足了极大无关组的2个条件 (1) 自身线性无关 (2) 向量组中任一向量可则它线性表示.

所以 a1a2a3..an中任意r个线性无关的向量都是极大无关组.

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Answer 2

设｛a1 ,a2,……，ar｝线性无关,假如不是极大无关组， 则它可以在｛a1a2a3..an｝中扩大为
｛a1 ,a2,……，ar，aj｝还是线性无关，这就得到｛a1a2a3..an｝中一个容量为r+1的线性无关
向量组，与｛a1a2a3..an｝的秩＝r（存在一个容量为r的线性无关向量组，任何容量大于r的向量组都线性相关）矛盾。所以｛a1 ,a2,……，ar｝只要是线性无关，就一定是极大无关组。