Question

高二数学选修 椭圆

已知中心在原点，一焦点为F（0，√50）的椭圆被直线L：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为1/2，求此椭圆方程。

Answer 1

解：设椭圆为y^2/a^2+x^2/b^2=1,即a^2 · x^2+b^2 · y^2=a^2 · b^2。
将L：y=3x-2带入上式得：（9b^2+a^2）· x^2-12b^2x+4b^2-a^2 · b^2=0.
所以x1+x2=12b^2/（9b^2+a^2)=1/2×2=1，即a^2=3b^2
又因为a^2-b^2=50，所以a^2=75,b^2=25
故椭圆方程为y^2/75+x^2/25=1

Answer 2

楼主你好
设椭圆与直线交于A，B两点，这两点的中点是C。
则：xA+xB=1，yA+yB=-1
设椭圆方程是x^2/b^2+y^2/a^2=1
则a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2
所以a^2xA^2+b^2yA^2=a^2xB^2+b^2yB^2
所以a^2(xA^2-xB^2)=b^2(yB^2-yA^2)
所以a^2(xA+xB)(xA-xB)=b^2(yA+yB)(yB-yA)
所以a^2(xA-xB)=b^2(yA-yB)（把xA+xB=1，yA+yB=-1带入）
所以a^2=[(yA-yB)/(xA-xB)]×b^2=3b^2
所以a^2-b^2=2b^2=50，所以b^2=25，所以a^2=3b^2=75
所以椭圆方程是x^2/25+y^2/75=1
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