Question

高中数学选修椭圆问题

F1,F2分别是椭圆x2/4+y2=1的两个焦点，问：在椭圆上是否存在点P，使PF1⊥PF2? 如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由。（焦点在X轴上）

Answer 1

设点P的坐标为（m，n）。
由椭圆方程x^2/4＋y^2＝1，得：c^2＝4－1＝3，∴c＝√3。
∴椭圆的焦点是F1（－√3，0），F2（√3，0）。
∴向量PF1＝（－√3－m，－n），　向量PF2＝（√3－m，－n）。

∵PF1⊥PF2，∴向量PF1·向量PF2＝0，∴（－m）^2－3＋n^2＝0，∴m^2＋n^2＝3。
∵P（m，n）在椭圆上，∴m^2/4＋n^2＝1，∴m^2＋4n^2＝4。

联立：m^2＋n^2＝3、m^2＋4n^2＝4，消去m，得：3n^2＝1，∴n＝±√3/3。
将n＝±√3/3代入m^2＋n^2＝3中，得：m^2＝3－1/3＝8/3，∴m＝±2√6/3。

∴满足条件的点P的坐标有四组，分别是：
（2√6/3，√3/3）、（－2√6/3，√3/3）、（－2√6/3，－√3/3）、（2√6/3，－√3/3）。