Question

如图，抛物线y=ax^2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4,0）、B（2,0），与y轴交于点C，顶点为D.E(1,2）为线

BC的中点，BC的垂直平分线与X轴，y轴分别交于点F、G。

Answer 1

(1)抛物线y=ax^2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4,0）、B（2,0)
16a-4b+4=0
4a+2b+4=0
a=-1/2, b=-1
y=-(x^2)/2-x+4
y=-(x+1)^2/2+9/2 D(-1,9/2)

(2)抛物线y=ax^2+bx+4与y轴交于点C，
y=-(x^2)/2-x+4
x=0
y=4
C(0,4)
直线BC的斜率Kbc=(4-0)/(0-2)=-2
直线EF垂直平分BC,EF的斜率Kef*Kbc=-1
Kef=1/2
直线EF y=x/2+b E(1,2)
b=3/2
y=x/2+3/2
在直线EF上求一点H,使三角形CDH的周长最小
连接DB,交EF于H,则H即为所求的点
直线DB的斜率Kdb=(9/2-0)/(-1-2)=-3/2
y=-3x/2+b b=3
y=-3x/2+3
y=x/2+3/2
H(3/4,15/8)
三角形CDH的周长s=CD+DH+CH=(根号5)/2+(7根号13)/8+(5根号13)/8=(根号5+3根号13)/2

(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，三角形EFK的面积最大？并求出最大面积。
直线EF y=x/2+3/2
F在x轴上,F(x,0)
0=x/2+3/2
x=-3
F(-3,0)

当K(x, -x^2/2-x+4)到EF的距离最大时，三角形EFK的面积最大

d=I x+x^2+2x-8+3 I/根号5=I x^2+3x-5 I/根号5=I (x+3/2)^2-29/4 I/根号5
当x=-3/2时 K到EF的距离最大 29 /(4根号5)
三角形EFK的面积S=d*EF/2=29 /(4根号5)*(2根号5)/2=29/4