Question

已知关于x的一元二次方程x＾2－（2k+1）x-4k-3＝0

已知关于x的一元二次方程x＾2－（2k+1）x-4k-3＝0
(1)求证5无论k取何值,该方程总有两个不相同的实数根
(2)当RT△ABC的斜边长a=根号31,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时,求△ABC的周长

Answer 1

题目有误，请检查！！！计算出来的有一直角边长为负数，这是不可能的。

如果题目改成：已知关于x的一元二次方程x²－(2k+1)x+4k-3＝0，
(把-4k改成+4k) ，那么解答如下：

解：
(1)原方程的判别式为：
△=[-(2k+1)]²-4(4k-3)
=(4k²+4k+1)-16k+12
=4k²-12k+13
=4(k²-3k+9/4)+4
=4(k-3/2)²+4
不论k取任何实数，都有(k-3/2)²≥0，则4(k-3/2)²+4>0，所以△>0，
因此，无论k取何值，该方程总有两个不相同的实数根。

(2)由韦达定理，得：
b+c=2k+1
bc=4k-3
由勾股定理，得：
b²+c²=a²=(√31)²=31
所以
(b+c)²=(2k+1)²
b²+c²+2bc=4k²+4k+1
31+2(4k-3)=4k²+4k+1
整理，得：
k²-k-6=0
(k-3)(k+2)=0
得：k=3和-2，
当k=-2时，b+c=2k+1=-3<0，bc=4k-3=-11<0，边长不会是负数，故舍去；
那么k=3，则：b+c=2k+1=6+1=7，
所以△ABC的周长=a+b+c=7+√31。