Question

一道数学不等式的证明题目

（ax+by)/(a+b)>(x+y)/2 a,b,x,y,都大于0 为什么啊 怎么证明这是对的啊
还有一个条件 a>b x>y

Answer 1

可以用分析法：
(ax+by)/(a+b)>(x+y)/2
<=2ax+2by>(x+y)(a+b)
<=2ax+2by>ax+bx+ay+by
<=ax+by>ay+bx
<=ax-ay>bx-by
<=a(x-y)>b(x-y)
因为x>y,所以x-y>0
<=a>b
这个显然成立。

Answer 2

有点难
无能为力

Answer 3

假如（ax+by)/(a+b)=(x+y)/2
2（ax+by)=(a+b)(x+y)=ax+by+bx+ay
bx+ay=0
因为a,b,x,y,都大于0 ，所以bx+ay>0，
因此假设不成立

Answer 4

证明：
欲证 （ax + by）/(a+b) ＞（x+y）/2
只需证明 （ax +by）/(a+b) - (x+y) /2 ＞0
因为 a，b，x，y 都大于零
不等式两边同乘以 2（a+b），不等式不变号
得到 2（ax+by）- (a+b)(x+y) ＞0
展开化简得 （a-b）(x-y) ＞0
根据题设 a ＞b，x ＞y
显然 a-b ＞0，x-y＞0
故此不等式成立。证毕