Question

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，点A,B在此抛物线上，且角AFB=90，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，点A,B在此抛物线上，且角AFB=90，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则 MN的绝对值/AB的绝对值 的最大值为？
过程……

Answer 1

可作A在准线的射影C，B的射影D，则有：AC=AF，BD=BF，
可证MN=（AC+BD）/2=（|AF|+|BF|)/2；可设|AF|=m，|BF|=n；
|AB|=√(AF²+BF²）=√（m²+n²）；
|MN|/|AB|=（m+n)/√（m²+n²）=√[（m+n)²/（m²+n²）]
=√[（m²+n²+2mn)/（m²+n²）]=√[1+2mn/（m²+n²）]；
因为当且仅当m=n时，2mn/（m²+n²）<=1，所以|MN|/|AB|的最大值为√2

Answer 2

楼上回答错误
作A在准线的射影C，B的射影D，则有：AC=AF，BD=BF，
可证MN=（AC+BD）/2=（|AF|+|BF|)/2；可设|AF|=m，|BF|=n；
|AB|=√(AF²+BF²）=√（m²+n²）；
|MN|/|AB|=（m+n)/2√（m²+n²）=1/2x√[（m+n)²/（m²+n²）]
=1/2x√[（m²+n²+2mn)/（m²+n²）]=1/2x√[1+2mn/（m²+n²）]；
因为当且仅当m=n时，2mn/（m²+n²）<=1，楼上的很可惜啊 就是少除了一个二 正确答案是√2/2

Answer 3

可作A在准线的射影C，B的射影D，则有：AC=AF，BD=BF，
可证MN=（AC+BD）/2=（|AF|+|BF|)/2；可设|AF|=m，|BF|=n；
|AB|=√(AF²+BF²）=√（m²+n²）；
|MN|/|AB|=（m+n)/√（m²+n²）=√[（m+n)²/（m²+n²）]
=√[（m²+n²+2mn)/（m²+n²）]=√[1+2mn/（m²+n²）]；
因为当且仅当m=n时，2mn/（m²+n²）<=1，所以|MN|/|AB|的最大值为√.
就这样