Question

已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦，为抛物线焦点，点A(X1,Y1),B(X2,Y2)。

Answer 1

解答：（1）证明：∵ab是过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的弦，
∴由抛物线定义可得|ab|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p；
（2）证明：设直线ab的方程为x=my+
p
2
，代入y2=2px，可得y2-2pmy-p2=0
∴y1y2=-p2，∴x1x2=
p2
4
；
（3）（理科）解：由（2）知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，∴
y
2
1
+
y
2
2
=（y1+y2）2-2y1y2=4p2m2+2p2，
∴
y
2
1
+
y
2
2
=2p（x1+x2）=4p2m2+2p2，∴x1+x2=2pm2+p，
∴θ=90°时，m=0，∴|ab|=2p；θ≠90°时，m=
1
tanθ
，|ab|=
2p
tan2θ
+2p；
（4）（文科）由（3）（理科）知，|ab|=
2p
tan2θ
+2p=8．

Answer 2

1.设直线AB的斜率为k
(a为直线AB的倾斜角)
当a=π/2时,AB垂直于x轴，x=p/2
得y=±p
所以A
B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
y1*y2=-p^2,x1*x2=p^2/4
当a≠π/2
y^2=2px
焦点(p/2,0),准线x=-p/2
则直线AB：y=k(x-p/2)
抛物线：y^2=2px
联立
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2*p^2/4=0
则x1*x2=p^2/4
y1*y2=-p^2
2.
因为抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离
所以|AB|=|AF|+|B=x1+P/2+x2+P/2=x1+x2+P
(1)当a=π/2时,AB垂直于x轴
令x=p/2得y=±p
所以A
B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
所以弦长AB=2p
(2)当a≠π/2时,焦点弦AB的的斜率为k=tana
所以直线为y-0=k(x-p/2)
带入抛物线y^2=2px(p>0)得k^2(x-p/2)^2=2px
化简得k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0
所以x1+x2=(k^2p+2p)/k^2,
x1*x2=p^2/4
所以弦长|AB|=√(1+k^2)*|x1-x2|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=2(k^2+1)p/k^2=2p(tana^2+1)/tana^2
=2p/(sina)^2