Question

如何证明两个不同的有理数之间有无限多个有理数和无限多个无理数?

Answer 1

设这两个不同的有理数为p,q，且p<q

(1)令Q = p + (q - p) / m (m∈N*且m≥2）

易知，Q为有理数，且p<Q<q。

由于m∈N*，即m有无限多个，则Q有无限多个。

即p、q之间有无限多个有理数。

(2)令Q = p + π(q-p)/n (n∈N*且n ≥ 4）

易知p<Q<q，由题1可知Q为无理数。

由于n∈N*,即n有无限多个，则Q有无限则李多个。

即p、q之间有无限多个无理数。

(2)中用到了练习题1.1的第1题的结论，这里把第一题的题目贴出来：

设a为有理数，b为无理数，求证a+b与a-b都是无理数；当a≠0时，ab与b/a也是无理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限备盯祥小数和无限循环小数。

比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数。

比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。

根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫仿搏为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。

Answer 2

用构造法，直接构造出无限桐穗多个有理数或喊兆无理数

详细过程见下图：

先做假设——

开始构造——

补郑轮租充证明——

Answer 3

这是举亏《数学分析教程-中国科学技术大学精品教材》练习题1.1的第2题，仿照楼上的解法，我也来写一个回答：
设这两个不同的有理数为p,q，且p<q
(1)令Q = p + (q - p) / m (m∈N*且m≥2）
易知，Q为有理数，且p<Q<q
由于m∈N*，即m有无限郑颂多个，则Q有无限多个，
即p、q之间有无限多个有理数
(2)令Q = p + π(q-p)/n (n∈N*且n ≥ 4）
易知p<Q<q，由题1可知Q为无理数，
由于n∈N*,即n有喊答郑无限多个，则Q有无限多个，
即p、q之间有无限多个无理数

(2)中用到了练习题1.1的第1题的结论，这里把第一题的题目贴出来：

设a为有理数，b为无理数，求证a+b与a-b都是无理数；当a≠0时，ab与b/a也是无理数
（用反证法即可证明）