Question

计算二重积分 ∬xydσ，其中D=｛（x，y）∣1≤x≤2,1≤y≤2｝ D

Answer 1

令u=x-1，v=y-1，则D={（x，y）|x2+y2≤2x+2y}={（u，v）|u2+v2≤2}，
从而，

∬
D
(x+y2)dxdy=
∬
u2+v2≤2
(u+v2+2v+2)dudv．
因为D关于u，v轴均对称，u为关于u的奇函数，2v为关于v的奇函数，
故
∬
u2+v2≤2
ududv=
∬
u2+v2≤2
2vdudv=0．
由二重积分的几何意义可得，

∬
u2+v2≤2
2dudv=4π．
因为
∬
u2+v2≤2
v2dudv=
∬
u2+v2≤2
u2dudv，
故
∬
u2+v2≤2
v2dudv=
1
2
∬
u2+v2≤2
(u2+v2)dudv．
利用极坐标系计算可得，

∬
u2+v2≤2
v2dudv=
1
2
∬
u2+v2≤2
(u2+v2)dudv
=
1
2
∫
2π
0

dθ
∫
2
0

r3dr