Question

证明方程至少有一个实根

Answer 1

不知道你有没有学过导数，
设f(x)=c0+c1x+c2x^2+....+cnx^n并设f(x)为F(x)的导数
则可以写一个F(x)=c0x+(c1/2)x^2+....+(cn/n)x^(n+1)
易得：F(0)=0,F(1)=0，因为F(x)是连续函数，（初等函数都连续）
所以在(0,1)之间F(x)有极大值或值小值，
所以F(x)的导数在（0，1）有至少有一个为0 （函数有极值，导数为0）
即f(x)在（0，1）中至少有一个根为0
这题是导数的逆用，希望对你有帮助

Answer 2

设f(x)=c0+c1x+c2x^2+....+cnx^n，显然它们是一些初等函数相加而得，易知在（0,1）上连续，
结合易知条件，则有∫（区间0到1）f(x)dx=0.
由积分第一中值定理可得：必存在一点a，a属于（0,1）上有：
∫（区间0到1）f(x)dx=f(a)(1-0)
则有f(a)=0，即证！

追问

不能用积分证，没学积分呢

追答

哦，那用罗尔定理行不。
设f(x)=c0x+c1x^2/2+c2x^3/3+....+cnx^(n+1)/(n+1)，
则f(0)=f(1)=0,且f在闭区间[0,1]上连续，在（0，1）上可导
则有罗尔定理可得：至少存在一点x0属于(0,1)，使得f'(x0)=0.
也即原方程：c0+c1x0+c2x0^2+....+cnx0^n=0
即证！