Question

证明如果（a,b）=1且m，n是自然数，那么（a^m，b^n)=1

Answer 1

反证法:设(a^m,b^n)=d(d>1),则d|a^m,d|b^n,不妨设d是素数[否则有d=uv....z(u,v...z是素数),同样有u|a^m,u|b^n]那么d|a,d|b,所以有(a,b)=kd(k是整数)与(a,b)=1矛盾,所以(a^m,b^n)=1

Answer 2

由于是相同的数
则（a^m，b^n)=(a,b)(a,b)....(a,b)=1*1*....*1=1
若m>n，则上式n个(a,b)
若n>m，则上式m个(a,b)
总之（a^m，b^n)=1

Answer 3

根据质因数唯一分解定理，可设a＝（p1^t1）（p2^t2）……（pN^tN）且
b＝（q1^s1）（q2^s2）……（qM^sM），
其中p1、p2……pN及q1、q2……qM都是质数，t1、t2……tN及s1、s2……sM都是正整数。
例如24＝（2^3）（3^1）。
因为（a，b）＝1，所以集合P＝｛p1、p2……pN｝与Q＝｛q1、q2……qM｝中没有公共的元素，
即对于任意的正整数 i 和 j ，其中1 ≤ i ≤ N，1 ≤ j ≤ M，必有pi≠qj。
而a^m＝[（p1^t1）（p2^t2）……（pN^tN）]^m＝（p1^mt1）（p2^mt2）……（pN^mtN）
b^n＝[（q1^s1）（q2^s2）……（qM^sM）]^n＝（q1^ns1）（q2^ns2）……（qM^nsM）
并没有引入新的质数因子，于是显然有：
（a^m，b^n）＝1。

可参考：
http://baike.baidu.com/view/2608948.htm
http://baike.baidu.com/view/2060219.htm