Question

对于函数f(x),若存在x0属于R,使f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点

对于函数f(x),若存在x0属于R,使f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点，已知f(x)=ax^2=(b+1)x+(b-1) (a不等于0)
（1）当a=1,b=-2,求函数f(x)的不动点
（2）若对任意实数，函数f(x)恒有两个相异不动点，求a的取值范围
（3）在（2）的条件下，令g(x)=1/x+2+log a(1+x/1-x)，解关于x的不等式g[x(x-1/2)]小于1/2
第一问已算出，求解（2）（3）问

Answer 1

题目的已知中有一个笔误，f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1) 下面回答(2)
由不动点的定义知：
对任意实数，函数f(x)恒有两个相异不动点等价于
关于x的方程f(x)=x恒有两个相异的实根.
即方程ax^2+bx+(b-1) =0对应的Δ恒>0
所以b^2+4a(b-1)>0对于任意的b 属于R恒成立。
方法一：借助函数g(b)=b^2+4a（b-1)的图像恒在横轴的上方，知
b^2+4ab-4a=0 对应的Δ<0
即 (4a)^2+16a<0
得 -1<a<0
方法二：参数分离
当b-1=0,即b=1时，1>0恒成立，a 属于R；
当b-1>0,即b>1时，由4a>-b^2/(b-1)恒成立，-b^2/(b-1)的最大值为-4，知a >-1；
当b-1<0,即b<1时，由4a<-b^2/(b-1)恒成立，-b^2/(b-1)>0，知a <0；
综上，-1<a<0
（3）中的问题与（2）中的得到的a有矛盾。
可能题目是f(x)=ax^2-(b+1)x+(b-1)
时间关系无法细答，和上述解答类似。

Answer 2

第二问比较简单 第三问可能网页上表达不是很清楚 我就不猜了
(2) 就是f(x)和y=x有两个交点
及ax^2-(b+1)x+(b-1)=x有两个根Δ>0即可 即 (b+2)^2-4a(b-1)>0