Question

如何证明狄利克雷函数每一点极限都不存在

Answer 1

在某一点两边有无数个有理数和无数个无理数，故其两边的极限值是不确定的，所以某一点的极限值不存在。

狄利克雷函数的公式定义：

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：

（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

极限思想：

在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

Answer 2

对任意点x0，找数列{xn1}，{xn2}
xn1=x0+1/n，xn2=x0+√2/n
则两个数列都在右端趋近与x0，且任意项与x0不等。
而两个数列所对应的函数列收敛于1和0，不等；有Heine定理，在x0处右极限不存在。
同理左极限也不存在。所以任意点极限不存在。

Answer 3

在某一点两边有无数个有理数和无数个无理数，故其两边的极限值是不确定的，所以某一点的极限值不存在