Question

第三次求教：初中二次函数题

已知二次函数y=ax²+bx+c(a<0)的图象经过点（-1，2），与Y轴的交点的纵坐标Y0＜2，且与X轴的交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2＜X1＜-1，0＜X2＜1。
求证：b²+8a>4ac。

Answer 1

解： 由题 y=ax²+bx+c(a<0) 过 点（-1，2），则 a-b+c =2；
又由此二次函数与x轴的两交点 x1，x2满足 -2＜X1＜-1，0＜X2＜1，
得到 此二次函数的对称轴 必介于 x =-2和x =1之间；
由a <0可知，在x>1时，此函数是单调递减函数；
从而 f(1)=a+b+c <0；
将 a-b+c =2 和 a+b+c<0 联立相加，得 （a-b+c）+（a+b+c）<2；
从而 2（a+c）<2，得到 a+c <1；第一选项错误；

关于第二选项，做差，由已知 a-b+c=2，得 b=a+c-2
b²+8a-4ac = (a+c-2)²-4ac+8a
=(a+c)²-4(a+c)+4-4ac+8a
=(a-c)²-4(c-a)+4
=(c-a-2)²≥0
得到 b²+8a ≥4ac。

追问

原题不是b²+8a ≥4ac。而是b²+8a ＞4ac，没有等于。

追答

证明 b²+8a>4ac。接上面，已经得到
b²+8a-4ac =(c-a-2)²
由 -2＜X1＜-1，0＜X2＜1，得到
-2 2a矛盾；
故 c-a-2 ≠0；则 （c-a-2）²>0；
b²+8a-4ac=(c-a-2)² >0；
所以 b²+8a >4ac。

Answer 2

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