Question

请教初中二次函数图象题

如图，已知抛物线y=x²-2x-3，与X轴交于A、B两点，其中C点的横坐标为2，直线L与抛物线交于A、C两点，点G是抛物线上的动点，在X轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由。

我解到最后出现了这样一个方程：u^4-3u^3-u^2+10u+12=0，不知该怎么解，或者解的方法不好。请朋友们帮忙，谢谢

Answer 1

这个问题初看比较费解，细想其实比较简单。
解答过程：设G点坐标（x1,y1）,F点坐标(x2,0)
由题意可知A、C、F、G组成平行四边形，由平行四边形的特点可知，通过G、F点的直线应该与通过A、C点的直线平行。这样就有两条直线的斜率相等。则(y1-0)/(x1-x0)=-1..........(1)
同时AC与FG的长度相等。这样又有(y1-0)^2+(x1-x0)^2=18...................................... (2)
另外点G又处于抛物线上，则又满足方程y1=x1^2-2x1-3.............................................(3)
联立方程（1）（2）（3）可知x0=1或者-3。即F点的坐标为（-3,0）或是（1,0）；此时对应的G点的坐标是（0，-3）和（-2,3）。
希望对你有所帮助。

追问

我第1和第3个方程和你的一样，而第2个方程是：y1/(x1+1)=3/(x2-2)
可是最后方程变成4次的了。
而且，书上的答案是4个点F1、F2、F3、F4。

追答

我觉得我列的方程式是对的，从方程式中是可以解出四个解，其中F（-1,0）这个解应该舍去，该店与A点重合，不能构成平行四边形。刚才在解的时候漏掉了一个解F（7,0）此时的G（4，3）。实在不好意思。

追问

我是用两条对边分别平行的定义列的方程，用了2个斜率。应该也正确呀？

追答

我觉得吧，子啊列方程的时候，我们应该尽量地减少变量的个数，尽量地使自己所列的方程式简单些，这样有助于我们快速地分析解题。当然，你所列的方程，使用了2个斜率，但是在你解题的过程中就出现了这样一个方程：u^4-3u^3-u^2+10u+12=0。这样的一个四次方程，如果没有比较明显的特征根的话，还是比较麻烦的。还有在解题过程中应该多多注意观察变量的形式，同时在解二次函数图象题的时候，不妨多去画画图，这样其实结果就很明显了。

追问

哦，谢谢

追答

不好意思诶，我列的方程式对的，但只考虑了AC为平行四边形的一条边时的情况。刚才把方程解错了，从我所列的方程中可以解除三个解是（-3,0），（4+√7，0），（4-√7，0）。
还有一种情况是要考虑AC为平行四边形的一条对角线时的情况，此时可以用中点法来列写方程组，解得另一解为（1，0）。
综上：解为(-3,0)，(4+√7，0)，(4-√7，0)和F(1,0)。

Answer 2

问题没有说明该平行四边形的顶点是否顺次为A、C、F、G，因此讨论起来况比较麻烦。
1）设该平行四边形的四个顶点顺次为A、C、F、G，
设F(x,0)，则该平行四边形两对角线的交点I的坐标为：(x/2,0)，
由C、I、G共线，且IG=CI，得G(x-2,3)，
因为G在抛物线上，把G的坐标代入抛物线方程可得：
x²-6x+2=0
解得 x=3±√7
即问题有两解F(3+√7，0)或者F(3-√7，0)

2）若AC、AF分别是该平行四边形的两条边，则应有CG‖AF，FG‖AC，
作CG‖AF与抛物线相交于G，得G(0,-3)，
作GF‖CA交x轴于F，易得F(-3,0)

3)若AC是该平行四边形的对角线，则AF是该平行四边形的一条边
则仍有G(0,-3)，作CF‖GA交x轴于F，
易得直线AG的斜率k=-3，∴CF的方程为 y+3=-3(x-2) ①
把y=0代入①即得到：F(1,0)

追问

不好意思，“设F(x,0)，则该平行四边形两对角线的交点I的坐标为：(x/2,0)，”看不懂，对角线的交点I的坐标为：(x/2,0)，为什么？为什么横坐标不是[X+（-1）]/2 呢？不是要用中点公式呢？

答案是F(4+√7，0)或者F(4-√7，0)，F(1,0)、F(-3,0)