Question

数学中为什么非单调函数可能没有反函数，为什么，求举例说明

Answer 1

函数定义中有法则“只要求多对一，而不能一对多”，即对于函数y=f(x)，一个x只能对应一个y，不能出现多个y值。
所以说，既然反函数与原函数相对于y=x对称，而对于非单调函数对称过去之后就出现了同一个x可能对应多个y值的情况。例如，y=x²，对称过去就是x=y²，这是一个以x轴为对称轴的抛物线方程，不能叫函数，因为对于x=1，y=±1，有两个y可以满足方程。

追问

太抽象了，求画图指点

追答

蓝线是y=x²，红线是x＝y²。y=x²是函数，但在定义域上不是单调的，导致关于y=x对称后得到的图像是x＝y²，这不能作为函数，因为不满足“一个x只对应一个y”，既然不能是函数，就不存在反函数一说了。

Answer 2

例如 y = x^2, x = ±√y , 给定 y = 4， 有 x = ±2 两个值对应， 故 y = x^2 没有反函数。

追问

不对吧。可以分类讨论吧