Question

函数单调性问题

高中函数单调性里的叙述：
对于二次函数f(x)=x^2，我们可以这样描述“随着x的增大，相应 f(x)也随着增大”：任取两个x1,x2,得到f(x1)=x1^2，f(x2)=x2^2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，这时就说函数f(x)=x^2是增函数
请问为什么要任取两个x1,x2?是为了研究的需要吗？如果不任取x1,x2,只有f(x)=x^2,不能看出单调性么，谢谢

Answer 1

你好，你取的例子有问题，比如x1=-2,x2=1,满足x1<x2而x1^2>x2^2不单调
这是通过紧扣定义证明f(x)=x^2是增函数的一种方法 因为x1<x2而x1,x2是任意的所以可以说“随着x的增大，相应 f(x)也随着增大”符合定义描述
不这样也有其他方法
可以通过函数的性质来判断，比如f(x)=x^2关于y轴对称，是一个偶函数，而它在（0，正无穷）单调增，所以在在（负无穷，0）单调减
也可以通过求导来计算的，求出函数的导函数f'(x)，若f'(x)>0则单调增，若f'(x)<0则单调减。

Answer 2

这个也说不出个所以然来，函数单调性的定义就是这样定义的
求函数的单调性也可以有别的方法求，不过我们求函数的单调性问题上百分之95以上用的是此种方法，它可以用于任何函数，有时会很烦，可以取巧，但任何其他方法的本质不会离开定义。明白我的意思吗？
还有，在表达函数单调性是，取值区间是相当重要的，比如你上面的函数，只有在x>0时才递增，x<0时就是递减，所以表示函数单调性，必须要有取值区间。。。

Answer 3

任取两个x1,x2确实是为了研究的需要，注意到那句描述：“随着x的增大”——怎么表示自变量在增大呢？用比较的形式来描述，也就是x1<x2；为什么要任取呢？仍然是那句话，在单调区间内这一变化趋势无论何处都存在，所以用“任取”——这个词和“无论何处”和“所有”都是一个意思。
取特殊值验证可能出现错误，比如你给的函数，取x1=-1,x2=2,满足x1<x2而x1^2<x2^2,但是很明显，这个函数在[-1，2]上没有单调性。
定义多半在涉及证明的时候用，高中用得比较多的有以下几个办法：
比较简单的基本初等函数结合图像来看；
对不方便作图的或比较复杂的，
（1）如果已知函数有对称性，那么如果函数是轴对称且在区间D上有单调性，则区间D的对称区间E与其单调性相反；若 函数是中心对称，则区间D的对称区间E与其单调性相同，这个多半小题用；
（2）解答题中的一般做法是求导。若函数f(x)的导函数为f'(x)，在使f'(x)>0的区间f(x)单调增，在使f'(x)<0的区间f(x)单调减。如果你是高一学生，那么导数是高二或高三的内容，到时候再来看好了~~~~~~