如图所示,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0), (4,3),动点M、N分别从
如图所示,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向...
如图所示,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0),
(4,3),动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于P,连结NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为(_,_);(用含x的代数式表示)
(2)试求△NPC的面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的X值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由. 展开
(4,3),动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于P,连结NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为(_,_);(用含x的代数式表示)
(2)试求△NPC的面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的X值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由. 展开
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(1)将A(4,0) C(0,3)代入y=kx+b,得y=-3/4x+3
所以p(x,-3/4x+3)
(2)过p点作PE⊥BC于E点
∵矩形ABCD
∴EM=AB=3
∴PE=EM-PM=3/4x
∴S△NPC=1/2·NC·PE
∴S=-3/8x²+2/3x
∵a=-3/8x<0
∴当x=-2a/b=2时,S有最大值=3/2
(3)高平分CN时等腰,此时CN=2x,又CN=4-x,所以x=4/3时等腰。
当PC=NC时
∵∠PAO=∠PAM,∠COA=∠PMA
∴△PAM≌△CAO
∴PA/AC=PM/CA
∴AP=5-5/4x
又∵AC²=AO²+CO²
∴AC=5
∴PC=AC-AP=5/4X
∴5/4X=4-X
X=16/9
所以p(x,-3/4x+3)
(2)过p点作PE⊥BC于E点
∵矩形ABCD
∴EM=AB=3
∴PE=EM-PM=3/4x
∴S△NPC=1/2·NC·PE
∴S=-3/8x²+2/3x
∵a=-3/8x<0
∴当x=-2a/b=2时,S有最大值=3/2
(3)高平分CN时等腰,此时CN=2x,又CN=4-x,所以x=4/3时等腰。
当PC=NC时
∵∠PAO=∠PAM,∠COA=∠PMA
∴△PAM≌△CAO
∴PA/AC=PM/CA
∴AP=5-5/4x
又∵AC²=AO²+CO²
∴AC=5
∴PC=AC-AP=5/4X
∴5/4X=4-X
X=16/9
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延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC.
①若NP=CP,∵PQ⊥BC,∴NQ=CQ=x.∴3x=4,∴x=4/3.
②若CP=CN,则,CN=4-x,PQ=3/4x,CP=54x,4-x=54x∴x=16/9.
③若CN=NP,则CN=4-x.∵PQ=3/4x,NQ=4-2x,在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2
∴(4-x)2=(4-2x)2+(3/4x)2,∴x=128/57.
综上所述,x=4/3,或x=16/9,或x=128/57.
①若NP=CP,∵PQ⊥BC,∴NQ=CQ=x.∴3x=4,∴x=4/3.
②若CP=CN,则,CN=4-x,PQ=3/4x,CP=54x,4-x=54x∴x=16/9.
③若CN=NP,则CN=4-x.∵PQ=3/4x,NQ=4-2x,在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2
∴(4-x)2=(4-2x)2+(3/4x)2,∴x=128/57.
综上所述,x=4/3,或x=16/9,或x=128/57.
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