Question

求一道高一数学题

在三角形ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=3／4,求b,

Answer 1

在三角形ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=3／4,求b,
b^2+c^2-a^2=2bccosA
b^2+36-16=2b*6*3/4
b^2-9b+20=0
(b-4)(b-5)=0
b=4或b=5
但是，如果b=4,那么a=b=4,则三角形为等腰三角形，A=B=（1/2）C
则有A+B+C=4A=180,所以A=B=45,C=90，此时三角形为等腰直角三角形。
但是a^2+b^2=32,c^2=36，a^2+b^2≠c^2,
由勾股定理逆定理知该三角形不是直角三角形，矛盾！
所以
b=4(舍去)

b=5
答：b为5.

Answer 2

b^2+c^2-a^2=2bccosA
b^2+36-16=2b*6*3/4
b^2-9b+20=0
(b-4)(b-5)=0
b=4或b=5
但是，如果b=4,那么a=b=4,则三角形为等腰三角形，A=B=（1/2）C
则有A+B+C=4A=180,所以A=B=45,C=90，此时三角形为等腰直角三角形。
但是a^2+b^2=32,c^2=36，a^2+b^2≠c^2,
由勾股定理逆定理知该三角形不是直角三角形，矛盾！
所以
b=4(舍)
b=5

追问

b^2+36-16=2b*6*3/4中，怎么知道c和a的

追答

由C=2A,则sinC=sin2A=2sinAcosA=3/2sinA
则由正弦定理得c/a=sinC/sinA=3/2

a+c=10.c/a=3/2得c=6,a=4