Question

如图，已知矩形ABCD沿直线AC折叠，使点D落在D'处，CD'交AB于E，AB=10，AD=8，AE的长为多少

Answer 1

AD'=AD=BC，∠AED'=∠CEB，∠AD'E=∠BEC=90°
△AED'≌△CEB
AE=EC
EC²-EB²=（EC-EB）(EC+EB)=BC²=8²=64
EC+EB=10
EC-EB=6.4
EC=8.2
EB=1.8
AE=EC=8.2

Answer 2

方法有2种：

[1]解：如图，做辅助线EF⊥AC

由题意可知，∠4 =∠5，对角线 AC = √（10² + 8²）=√164 =2√41。

∵ AB ‖CD

∴ ∠1 =∠4

∴ ∠1 =∠5

∴ △AEC为等腰三角形

∴ AF = ½AC = √41     【在等腰三角形中，底边的高也是中线】

又∵ ∠FAE =∠BAC

∴ △FAE ∽ △BAC       【两直角三角形中有一锐角相等，则他们相似】

∴ AE：AC = AF：AB 

∴ AE：2√41 = √41：10

∴ AE = 8.2

[2]解：

∵Sin∠2 = 10/√164 = 5/√41，Sin∠1 =8/√164 = 4/√41，

    Cos∠2= 8/√164 = 4/√41，Cos∠1 =10/√164 = 5/√41

∴ Cos∠3 = Cos（∠2 -∠1）

= Cos∠2 ·Cos∠1 + Sin∠2 ·Sin∠1     【两角和与差的三角函数】

=  4/√41 × 5/√41  +  5/√41 × 4/√41

= 40/41

又∵ Cos∠3 = AD：AE

∴ AE = AD ：Cos∠3 = 8 ÷ 40/41 =8.2