Question

怎么证明这个数域是包含Q和i的最小数域

怎么证明这个数域是包含Q和i的最小数域重点在最小

Answer 1

0元：0=0+0i∈Q(i)
单位元：1=1+0i∈Q(i)
负元：若 a+bi∈Q(i)，则 a、b∈Q，-a、-b∈Q，(a+bi)+(-a-bi)=0，负元 -a-bi∈Q(i)
逆元：若 a+bi∈Q(i)，则 a、b∈Q，a/(a^2+B^2)、-b/(a^2+B^2)∈Q
[a/(a^2+B^2)-bi/(a^2+B^2)]*(a+bi)=1，逆元 a/(a^2+B^2)-bi/(a^2+B^2)]∈Q(i)
加法封闭：若 a+bi、c+di∈Q(i)，则 a、b、c、d、a+c、b+d∈Q，
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈Q(i)
乘法封闭：若 a+bi、c+di∈Q(i)，则 a、b、c、d、ac-bd、ad+bc∈Q，
(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈Q(i)
交换律、结合律、分配律是复数域固有的运算律，
所以Q(i)是复数域的一个子域，后面只系证明最小，实际上这是很明显的，
设 P 为复数域中一个包含 Q、i 的子域 P，则对任意有理数 a、b，都有 a、b、i∈P，由子域 P 的加法和乘法的封闭性，a+bi∈P，所以 Q(i)包含于 P，所以 Q(i) 是包含 Q、i 的最小子域