Question

求级数的和函数

求级数的和函数求和函数

Answer 1

举个例子吧
1
-
1/2
+
1/3
-
1/4
+
1/5
-
...
1
-
(1/2)x
+
(1/3)x^2
-
(1/4)x^4
+
(1/5)x^5
-
...
下面做一对比，对比的内容是一一对应的，希望你认真看一下，对你考试有帮助。
第一个是数项级数。
（1）它的通项是个“数”，即an=[(-1)^(n-1)]/n。
（2）它的敛散性是确定的，因为这里面都是“数”，没有变量，所以最后结果要么收敛，要么发散，是确定的，两者只能取其一。
（3）对于数项级数，考试的题目只有一句话，“判断这个级数是收敛还是发散？”，原因就是上面说的，它的敛散性是确定的，你要做的是判断出它到底收敛还是发散！
（4）解题步骤一般是：
先判断通项极限是不是为0，如果不是则直接写发散；如果是，再判断是正项级数还是交错级数（我举得例子是交错级数），如果是正项级数，用比值审敛法，比较审敛法等判断，如果是交错级数，用莱布尼兹审敛法判断。本题用莱布尼兹审敛法，交错级数的通项递减且趋于0，所以收敛。
第二个是函数项级数
（1）它的通项是个函数，说白了就是通项里含有变量x,即an=[(-x)^(n-1)]/n。
（2）它的敛散性是不确定的，因为x取不同的值的时候，他就是不同的数项级数，（比如x=1就和第一个例子的级数一样，x=2就又变成另一个级数了）。这些不同的数项级数有的发散有的收敛。取决于x取什么值。
（3）对于函数项级数，考试的题目一般是，“求这个函数项级数的收敛域和收敛区间”，说白了就是问你：“x取什么值的时候，这个级数收敛，x取什么值的时候，这个级数发散？”
（4）解题步骤一般是：
先算出收敛半径，（比如我举得例子，算出收敛半径是1），那就是说，这个函数项级数在±1之内都是收敛的，比如x=0.9代入，肯定收敛的；而在±1之外是发散的，比如x=1.1代入，肯定是发散的。但是端点-1和+1的情况还不知道，需要另外判断。方法就是直接代入-1和+1，变成两个数项级数来判断。最终得到，-1时发散，而+1时收敛。所以最终考卷上写：x属于(-1,1]时，收敛。

Answer 2

令f(x)=∑x^n/n(n+1)

则f'(x)=∑x^(n-1)/(n+1)=1/x²∑x^(n+1)/(n+1)

再记g(x)=∑x^(n+1)/(n+1)

则g'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x), 收敛域为|x|<1

积分得：g(x)=C-x-ln(1-x)

因为g(0)=0, 故有C=0, 得g(x)=-x-ln(1-x)

故有f'(x)=1/x²g(x)=-1/x-1/x²ln(1-x)

积分得：f(x)=C-ln|x|-∫1/x²ln(1-x)dx
=C-ln|x|-[-1/xln(1-x)-∫1/x(1-x)dx]
=C-ln|x|+1/xln(1-x)+ln|x|-ln(1-x)
=C+(1/x)ln(1-x)-ln(1-x)
由于f(0+)=0, 得C-1=0, 即C=1
从而f(x)=1+(1/x)ln(1-x)-ln(1-x)