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圆周角定理是什么
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圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
圆周角定理的推论:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧。
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
扩展资料
当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
∵OA、OC是半径
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
参考资料来源:百度百科-圆周角定理
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圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系
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圆周角定理证明是中考必考几何题型,是初中数学重要知识点之一,为便于同学们理解加深印象,给出动态演示图。
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圆周角定理详解
圆周角的定义
顶点在圆周上,并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角(angle in a circular segment)(Inscribed Angle)。圆周角的顶点在圆上,它的两边为圆的两条弦。
圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理证明
求证:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半.
已知:⊙O中,∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角.
求证:∠AOB=2∠ACB
证明:当圆心O在∠ACB的一条边上时,如图(1),证明方法同课本,这里不在赘述.
当圆心O在∠ACB的外部时,如图(2).联结OC.
∵OC=OB,OC=OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)
∵∠AOC-∠BOC=∠AOB,∠OCB -∠OCA=∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB;
当圆心O在∠ACB的内部时,如图(3).联结OC.
∵OC=OB,OC=OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°
∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC
∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)
∵∠OCA+∠OCB =∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB ;
综上所述,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理推论
①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。[2])
③半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
④圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑤在同圆或等圆中,圆周角相等弧相等弦相等。
圆周角的定义
顶点在圆周上,并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角(angle in a circular segment)(Inscribed Angle)。圆周角的顶点在圆上,它的两边为圆的两条弦。
圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理证明
求证:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半.
已知:⊙O中,∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角.
求证:∠AOB=2∠ACB
证明:当圆心O在∠ACB的一条边上时,如图(1),证明方法同课本,这里不在赘述.
当圆心O在∠ACB的外部时,如图(2).联结OC.
∵OC=OB,OC=OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)
∵∠AOC-∠BOC=∠AOB,∠OCB -∠OCA=∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB;
当圆心O在∠ACB的内部时,如图(3).联结OC.
∵OC=OB,OC=OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°
∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC
∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)
∵∠OCA+∠OCB =∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB ;
综上所述,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理推论
①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。[2])
③半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
④圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑤在同圆或等圆中,圆周角相等弧相等弦相等。
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