Question

几道初三数学竞赛题高手求解，要详细的过程。有好的回答会再加分。

一 已知二次函数y=ax²+bx+c（a＜b）的图像恒不在x轴下方，且m＜（a+b+c）/(b-a)恒成立，求m的取值范围。 （答案不是m＜0那么简单）

二 在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，E、F分别为AC、BD的中点，求证：∠AEF=∠ACB-∠ACD（图请自己画吧 其实很简单 就是一个四边形 对角相等 两条对角线中点连起来就是了）

三 已知a、b、c为正整数，且a＜b＜c 若abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1），那么，长度分别为根号a、根号b、根号c的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出三角形的面积，若不能，请说明理由。

Answer 1

第一题。楼上明显错的，如果a=1.b=20.c=1.这样就不满足了，所以m取不了3，第一种解法，因为二次函数y=ax²+bx+c（a＜b）的图像恒不在x轴下方，所以得到两个结论，一个是a＞0,第二个是 b²-4ac≤ 0，m＜（a+b+c）/(b-a)恒成立化简得到a(1+m)+b(1-m)+c＞0设一次函数y=a(1-m)+b(1-m)+c未知数为a,要使这个函数在0＜a＜b间都能使y＞0,因为一次函数都是单调性的，所以，只需要，在a=0时y＞或者等于0，a=b时y＞或者等于0,那么其他都能满足了，那么带入可的b(1-m)+c＞或者=0。1-m＞或者=-c/b,因为 b²-4ac≤ 0，所以bxb/4c＜或者等于a＜b,所以得到-1/4＜-c/b＜0，所以1-m≥
0,所以m≤ 1
第二种解法，极限思想，在选择题和填空题可以这样做，因为a＞0,b＞0.c＞0我们可以设a=1.b=n.c=n,满足b²-4ac≤ 0那么题得到，m＜(n+2）/(n-1)当n无穷大，那么式子无限接近1，但是不能等于，所以，
m≤ 1。
第三种解法，这个比较正规的解法，答案一定是这个解法！设k=（a+b+c）/(b-a)带入 b²-4ac≤ 0消去c，得到
4a²（k+1)-4ab(k-1)+b²≤ 0,两边同时除以a²，设b/a=x。为二次函数，再利用对称轴小于0和x=1的时候函数小于等于0.解得，k＞1,所以m≤ 1

那么第二题你是不是打错了，：∠AEF=∠ACB-∠ACD是不是：∠AEF=∠ACB+∠ACD那样可以在两边做两个中点，构成一个平行四边形，可以转换角和平行得到，
。
第三题是什么意思呀？
（ab-1）能被
abc整除吗？？那这是数论的，我不会，

Answer 2

解：由题设可知 a＞0，b＞0，c＞0 并且 b²-4ac＜0；
得到 c＞b²/4a；
则 (a+b+c)/(b-a) ＞[a+b+(b²/4a)] /(b-a)
而 [a+b+(b²/4a)] /(b-a) = (4a²+4ab+b²) / 4a(b-a)
=(2a+b)² / 4a(b-a)
由题设 b＞a＞0，设 b=a+m（其中m＞0）
则上式变为 (3a+m)² / 4am；由于a，m均大于零
由 均值不等式知 3a+m ≥2√3am （当且仅当 m=3a时等式成立）
则 (3a+m)² / 4am ≥ (2√3am)² /4am =3；
综合以上得知：(a+b+c)/(b-a) ＞3；
而由题设知 m 使得 m ＜(a+b+c)/(b-a) 恒成立，故
m ≤ 3。

Answer 3

第一种解法，因为二次函数y=ax²+bx+c（a＜b）的图像恒不在x轴下方，所以得到两个结论，一个是a＞0,第二个是 b²-4ac≤ 0，m＜（a+b+c）/(b-a)恒成立化简得到a(1+m)+b(1-m)+c＞0设一次函数y=a(1-m)+b(1-m)+c未知数为a,要使这个函数在0＜a＜b间都能使y＞0,因为一次函数都是单调性的，所以，只需要，在a=0时y＞或者等于0，a=b时y＞或者等于0,那么其他都能满足了，那么带入可的b(1-m)+c＞或者=0。1-m＞或者=-c/b,因为 b²-4ac≤ 0，所以bxb/4c＜或者等于a＜b,所以得到-1/4＜-c/b＜0，所以1-m≥
0,所以m≤ 1
第二种解法，极限思想，在选择题和填空题可以这样做，因为a＞0,b＞0.c＞0我们可以设a=1.b=n.c=n,满足b²-4ac≤ 0那么题得到，m＜(n+2）/(n-1)当n无穷大，那么式子无限接近1，但是不能等于，所以，
m≤ 1。
第三种解法，这个比较正规的解法，答案一定是这个解法！设k=（a+b+c）/(b-a)带入 b²-4ac≤ 0消去c，得到
4a²（k+1)-4ab(k-1)+b²≤ 0,两边同时除以a²，设b/a=x。为二次函数，再利用对称轴小于0和x=1的时候函数小于等于0.解得，k＞1,所以m≤ 1

Answer 4

三 解：注意到，由abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1），可得abc整除ab+ac+bc-1
然后用范围估计法。
有abc<=ab+ac+bc-1
若a>=3,则abc>=3bc=bc+bc+bc>=ab+bc+ac,矛盾；
故a=1或2.
若a=2,则有2bc<=bc+2b+2c-1,即(b-2)(c-2)<=3.而2<b<c,只有b=3 c=4,或b=3,c=5.经验证，此时只有a=2,b=3,c=5一组解。
若a=1,则有bc整除bc+b+c-1,即bc整除b+c-1,故bc<=b+c-1，即(b-1)(c-1)<=0,无解。
综上，只有a=2,b=3,c=5.
易知根号a、根号b、根号c可构成三角形。

这个题目还不算难题……