Question

求教一个有关数列的问题

a(1)=4,a(n+1)=2a(n)-2n²+2n，求｛a(n)｝的通项公式。注：（）里的数代表项数，急，加分。
我的做法是将等式两边同除2^(n+1),然后对数列｛a(n)/2^n｝使用叠加法，如果这样做，如何对叠加后的等式右边进行求和。

Answer 1

令a(n+1)+A(n+1)²+B(n+1)+C=2[a(n)+An²+Bn+C]
打开括号，a(n+1)+An²+(2A+B)n+(A+B+C)=2a(n)+2An²+2Bn+2C
即a(n+1)=2a(n)+An²+(B-2A)n+(C-A-B)=2a(n)-2n²+2n
对比系数得，A=-2,B-2A=2,C-A-B=0
所以A=-2,B=-2,C=-4
所以数列{a(n)-2n²-2n-4}成公比为2的等比数列，且首项为4-2-2-4=-4
所以a(n)-2n²-2n-4=-4X2^(n-1)
a(n)=2n²+2n+4-2^(n+1)
不要问为什么了，就得这么构造等比数列，你们老师应该讲过的，有可能不大好理解。建议从这种类型中一次函数的入手，慢慢自己找规律。
如果按楼主那个方法，a(n+1)/2^(n+1)=a(n)/2^n-2n²+2n/2^(n+1),后面是一个等差与等比的乘积，显然要用错位相减，不过比较麻烦了。
够辛苦的，多给点分吧~

追问

把如何错位相减求和说了吧，我加分，谢谢

追答

先承认一下错误。。。看错了，不是等差与等比的乘积。。。
高中不讲这种数列的求和，楼主就用第一种方法吧。。。
十分抱歉

Answer 2

a(n+1)+k(n+1)^2+t(n+1)+m=2(an+kn^2+tn+m)
a(n+1)=2an+kn^2+n(t-2k)+m-k-t
k=-2,t-2k=2,m-k-t=0
k=-2, t=-2,m=-4
bn=an-2n^2-2n-4
b(n+1)=2bn, b1=a1-2-2-4=-4
bn=b1x2^(n-1)=-2^(n+1)
an=bn+2n^2+2n+4=-2^(n+1)+2n^2+2n+4

Answer 3

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