Question

三角形abc的三个内角ABC的对边分别为abc，且ABC成等差数列，abc成等比数列，求证三角形ABC为

等边三角形

Answer 1

证明：
依题意得：2B=A+C……（1）式，且b^2=ac……（2）式
故B+A+C=B+2B=3B=180°，即B=60°
在三角形中，根据余弦定理有b^2=a^2+c^2-2ac×cosB
因为B=60°，所以cosB=1/2
即b^2=a^2+c^2-2ac×cosB=a^2+c^2-ac，结合（2）式，得：
a^2+c^2-ac=ac
即a^2-2ac+c^2=0
即（a-c）^2=0
即 a-c=0
即 a=c
所以三角形abc是等腰三角形，又角B为60°，因此三角形abc是等边三角形，得证。
（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）