Question

求解(4-x+y)dx-(2-x-y)dy的通解请用多元函数微分学的方法求解，还有一图里的类似题目

还有一类似题目，在图片里，在第二行开始有些不明白。。求解释

Answer 1

这题不难啊
令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，特征方程组为
4-h+k=0
2-h-k=0
解得h=3，k=-1。因此原方程化为
dY/dX=(-X+Y)/(X+Y)=(-1+Y/X)/(1+Y/X)
令u=Y/X，Y=uX，dY/dX=Xdu/dX+u
剩下的自己写了

追问

谢了，我想用全微分的形式求解

追答

全微分？(-x+y+4)dx+(x+y-2)dy=0
P(x,y)=-x+y+4，Q(x,y)=x+y-2
偏Q/偏x=1=偏P/偏y
所以(-x+y+4)dx+(x+y-2)dy是某个函数U(x,y)的全微分。
偏U/偏x=P(x,y)=-x+y+4，两边对x积分，U(x,y)=-x²/2+(y+4)x+f(y)
所以偏U/偏y=x+f'(y)=x+y-2
f'(y)=y-2，f(y)=y²/2-2y+C
所以U(x,y)=-x²/2+xy+y²/2+4x-2y+C
而原方程右边是0，积分为任意常数，所以可以写成
-x²/2+xy+y²/2+4x-2y=C
或x²-2xy-y²-8x+4y=C

追问

谢大佬！明白了，图片里的那道题的第四行最后的独立常数C/2换成C也可以吗？这里的c/2是为了计算方便写的吗？在常微分方程求解过程中独立常数取C或lnc是有什么技巧吗？谢谢

谢大佬！明白了，图片里的那道题的第四行最后的独立常数C/2换成C也可以吗？这里的c/2是为了计算方便写的吗？在常微分方程求解过程中独立常数取C或lnc是有什么技巧吗？谢谢

追答

没什么技巧，反正跟常数有关的通通用C表示，不会去区分什么C1还是C2。除非你要用这个C去计算的时候，我可能在计算途中会写上C²这种

Answer 2

求微分方程dy/dx-(y/x)-2√(y/x)=0的通解 解：令y/x=u，则y=ux...........①；dy/dx=u'x+u；代入原式得： u'x+u-u-2√u=0，即(du/dx)x-2√u=0; 分离变量得：du/√u=(2/x)dx 积分之得2√u=2lnx+lnc=ln(cx²) ∴u=(1/4)ln²(cx²)； 代入①式...

追问

谢谢