Question

数学，线性代数，矩阵进行初等变换后与原矩阵进行相同的乘方再计算其各自行列式，最后得出的结果相同吗？

Answer 1

一般不会相同。
矩阵进行初等变换后与原矩阵进行相同的乘方再计算其各自行列式，最后得出的结果一般不会相同。这是因为，矩阵的初等变换有三种不同的变换，
（1）交换两行或两列；
（2）将某行（或列）乘以一个非零的数；
（3）将某行（或列）乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上。
由行列式的运算性质可知，只有第（3）类初等变换不改变行列式的值。
所以，如果只做了第（3）类初等变换，结果一定相同，但如果还参与了另外两种变换，则结果一般不会相同。

Answer 2

不同。
例如 (2E)^2 = 4E, 其行列式是 4；
2E 经初等变换可变为 E， E^2 = E。 其行列式是 1。

Answer 3

初等行变换的交换两行，行列式变不变？

初等行变换的某行乘以k倍，行列式变不变？
显然这都会改变行列式值的。
我们对矩阵进行初等变换，要想明白用意何在。首先初等变换不会改变矩阵的秩，其次，初等行变换不会改变列向量的相关性表示系数（同理，初等列变换不会改变行向量的相关性的表示系数），这点用在解方程组上。