Question

求高人解一不等式题

Answer 1

解：（1）不妨设整数a≥b≥c，显然c≥2。
若c≥5，这时1/a≤1/b≤1/c≤1/5
由abc=2(a-1)(b-1)(c-1)，可得
1/2=(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c) ≥(4/5)^3。造成矛盾。
所以c只可能取2，3，4。
当c=2时，ab=(a-1)(b-1)，有a+b=1
又a≥b≥2，故无解。
当c=3时，3ab=4(a-1)(b-1)，即(a-4)(a-4)=12
又a≥b≥3，所以a-4=12,b-4=1或a-4=6,b-4=2或a-4=4,b-4=3
解得a=16,b=5或a=10,b=6或a=8,b=7
能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。
当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。
能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。
故存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4，5，6或3，7，8
（2）由abc=2(a-1)(b-1)(c-1)，可得
1/2=(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c)≤【〔(1-1/a)+(1-1/b)+(1-1/c)〕/3】^3
(1-1/a)+(1-1/b)+(1-1/c)〕/3≥2/2^(1/3)
-1/a-1/b-1/c≥2/2^(1/3)-3
所以，1/a+1/b+1/c≤3-2/2^(1/3)
又因为a/b+b/a≥2， a/c+c/a≥2 ，c/b+b/c≥2
所以(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(c/b+b/c)≥9，则有
a+b+c ≥9/〔(1/a+1/b+1/c)〕≥9/〔3-2/2^(1/3)〕=3*2^(1/3)/〔2^(1/3)-1〕
所以△ABC的周长最小值为3*2^(1/3)/〔2^(1/3)-1〕，当且仅当a=b=c=2^(1/3)/〔2^(1/3)-1〕时，取得此最小值。

Answer 2

1. 存在，各边长为4、5、6
2. 当a=b=c时周长最小，有个三次根号，不好写

Answer 3

！） 存在； 例如 a=3，b=7,c=8; 或 a=4,b=5,c=6
2) 当a=b=c 时，三角形周长的最小值为3*（2的三次方根）/(2的三次方根-1)